Agé de 92 ans, Essebsi a été "victime d'un grave malaise et a été transféré à l'hôpital militaire de Tunis", a écrit la présidence sur sa page Facebook.
"La situation du président est critique" mais "stable", a indiqué son conseiller Firas Guefrech, sur Twitter, démentant des rumeurs faisant état de sa mort.
Essebsi avait déjà été hospitalisé la semaine dernière. Les médias tunisiens avaient alors fait état de l'hospitalisation du président du Parlement, Mohamed Ennaceur, chargé selon la Constitution d'occuper la présidence par intérim en cas d'absence du chef de l'Etat.
Jeudi, Ennaceur a prévu de se rendre à l'Assemblée où il devrait selon les médias et la députée Myrian Boujbel rencontrer les chefs de partis. En cas de litige sur une éventuelle vacance du pouvoir, il revient en théorie à la Cour constitutionnelle de trancher mais celle-ci n'a toujours pas été constituée.
Les attentats et le malaise du chef de l'Etat surviennent alors que le climat politique s'est tendu en Tunisie ces derniers mois à l'approche d'élections présidentielle et législatives, prévues en octobre et novembre.
Les attentats, menés à l'ouverture de la saison touristique et qui n'ont pas été revendiqués dans l'immédiat, sont les premiers en Tunisie depuis une attaque perpétrée le 30 octobre 2018, également sur l'avenue Bourguiba, en plein coeur de la capitale, par une femme kamikaze, qui avait fait au moins 26 blessés, en majorité des policiers.
Sur la principale avenue de Tunis, l'avenue Habib Bourguiba, un kamikaze a visé jeudi un véhicule de police tuant un policier et blessant trois civils ainsi qu'un policier, selon le ministère de l'Intérieur.
Des morceaux de chair, probablement ceux du kamikaze, jonchent la chaussée autour du véhicule, a constaté une journaliste de l'AFP sur place. L'attentat s'est produit non loin de l'ambassade de France.
Des passants se sont évanouis sous le choc et de nombreux commerces et administrations du centre-ville ont aussitôt baissé leurs rideaux.
Rapidement, des forces de sécurité ont été déployées sur le lieu de l'attentat, où des badauds se sont attroupés malgré les avertissements lancés sur un ton agressif par des agents de police paniqués.
Une demi-heure plus tard, un deuxième attentat suicide a visé un complexe de la Garde nationale à la périphérie de Tunis, blessant quatre policiers, a indiqué le ministère de l'Intérieur.
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Le kamikaze s'est fait exploser devant la porte arrière du complexe de Gorjani, où sont rassemblés des services de la Garde nationale, de la police judiciaire et des services d'enquête antiterroriste, a déclaré le porte-parole du ministère, Sofiène Zaag.
"C'est une opération terroriste lâche" qui " vise à déstabiliser les Tunisiens, l'économie et la transition démocratique alors que nous sommes au début de la saison touristique et à quelques mois des élections", a déclaré à la presse le chef du gouvernement, Youssef Chahed, qui s'est rendu sur l'avenue Habib Bourguiba après l'attaque.
"Ces groupes (terroristes) n'ont pas leur place en Tunisie et notre guerre contre eux est une guerre pour l'existence, une question de mort ou de vie", a-t-il ajouté. Il a par ailleurs refusé de répondre aux questions sur l'état de santé du président.
Dans une déclaration à la radio privée Mosaïque FM, le porte-parole du pôle antiterroriste, Sofiène Sliti, a affirmé que les deux kamikazes avaient utilisé une ceinture explosive.
"On ne sait pas si c'est de fabrication artisanale ou pas. Les investigations se poursuivent pour déterminer l'identité des deux kamikazes", a-t-il ajouté.
Sofiène Zaag a affirmé à l'AFP que "les deux kamikazes sont de sexe masculin".
Après un soulèvement en 2011 ayant mené à la chute du régime de Zine El Abidine Ben Ali, la Tunisie a été confrontée à un essor de la mouvance jihadiste, responsable de la mort de plusieurs dizaines de soldats et de policiers, mais aussi de nombreux civils et touristes étrangers.
Après une attaque suicide le 24 novembre 2015 contre un bus de la garde présidentielle, qui avait tué 12 agents en plein centre de Tunis, l'état d'urgence a été constamment renouvelé dans le pays.
Cette attaque avait été revendiquée par le groupe jihadiste Etat islamique (EI).
La même année, 60 personnes dont 59 touristes, avaient été tuées dans d'autres attentats contre le musée du Bardo à Tunis, le 18 mars, puis contre une plage et un hôtel près de Sousse, le 26 juin. Ces deux attaques avaient également été revendiquées par l'EI.
